一、矩阵的基本运算
矩阵是线性代数的核心工具之一。以下是一道关于矩阵加法和乘法的基础题目：
例题1：
已知矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ 和 $ B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} $，求矩阵 $ A + B $ 和 $ AB $。
解答：
1. 矩阵加法：
$$
A + B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 5 & 9 \end{bmatrix}
$$
2. 矩阵乘法：
$$
AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (2)(2) & (1)(0) + (2)(5) \\ (3)(-1) + (4)(2) & (3)(0) + (4)(5) \end{bmatrix}
$$
$$
AB = \begin{bmatrix} 3 & 10 \\ 5 & 20 \end{bmatrix}
$$
二、行列式的计算
行列式是衡量矩阵是否可逆的重要指标。以下是一个关于二阶行列式的计算问题：
例题2：
计算行列式 $ \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} $。
解答：
利用二阶行列式的公式：
$$
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
$$
代入数据：
$$
\begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (3)(5) - (7)(2) = 15 - 14 = 1
$$
三、向量空间与基
向量空间的概念在理论研究中非常重要。以下是一道关于向量空间基的问题：
例题3：
设向量组 $ S = \{ \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \} $，其中：
$$
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$
判断该向量组是否构成一个基。
解答：
要判断向量组是否构成基，需要验证两个条件：
1. 向量组是否线性无关；
2. 向量组是否张成整个空间。
构造矩阵 $ V = [\mathbf{v}_1 \ \mathbf{v}_2 \ \mathbf{v}_3] $：
$$
V = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
$$
计算行列式：
$$
\det(V) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
\det(V) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}
$$
$$
\det(V) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -2
$$
由于行列式不为零，向量组线性无关且张成整个空间，因此 $ S $ 构成一个基。
通过以上三个例题，我们可以看到线性代数在实际应用中的重要性。希望这些题目和解答能帮助大家巩固基础知识，并激发对线性代数的兴趣！
