在数学分析中，全微分是一个重要的概念，它描述了多变量函数在某一点附近的局部线性近似。为了更好地理解这一概念，我们可以通过一系列习题来加深认识。

首先，考虑一个二元函数 \( z = f(x, y) \)，其全微分可以表示为：

\[

dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

\]

这里，\( \frac{\partial f}{\partial x} \) 和 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 分别是函数 \( f \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

习题 1：

设 \( z = x^2y + xy^2 \)，求 \( dz \)。

解答：

对 \( z \) 求偏导数：

\[

\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^2, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 2xy

\]

因此，全微分为：

\[

dz = (2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy

\]

习题 2：

设 \( z = e^{x+y} \sin(xy) \)，求 \( dz \)。

解答：

对 \( z \) 求偏导数：

\[

\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x+y} (\sin(xy) + y \cos(xy)), \quad \frac{\partial z}{\partial y} = e^{x+y} (\sin(xy) + x \cos(xy))

\]

因此，全微分为：

\[

dz = e^{x+y} (\sin(xy) + y \cos(xy)) dx + e^{x+y} (\sin(xy) + x \cos(xy)) dy

\]

通过这些习题，我们可以看到全微分的应用不仅限于简单的多项式函数，还可以扩展到更复杂的复合函数。希望这些练习能帮助你更好地掌握全微分的概念。