在高中数学课程中，《选修4-5——不等式选讲》是一门重要的拓展内容，主要围绕不等式的性质、证明方法以及应用展开。该部分内容不仅有助于提升学生的逻辑思维能力，也为后续学习高等数学打下坚实基础。本文将对本模块的核心知识点进行系统梳理，并结合典型例题与练习题，帮助学生深入理解并掌握相关知识。
一、基本不等式
1. 均值不等式
- 算术平均 ≥ 几何平均：
$$
\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ a = b $ 时取等号。
- 推广形式：
对于正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$
2. 柯西不等式
- 在实数范围内，有
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时取等号。
3. 绝对值不等式
- 三角不等式：
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
并且
$$
||a| - |b|| \leq |a - b|
$$
二、不等式的解法
1. 一元一次不等式
解法步骤：移项、合并同类项、化系数为1。
2. 一元二次不等式
解法步骤：先求对应方程的根，再根据开口方向判断解集。
3. 分式不等式
解法：转化为整式不等式，注意分母不能为零。
4. 绝对值不等式
通常通过分类讨论或平方去绝对值处理。
三、不等式的证明方法
1. 比较法
通过作差或作商来判断大小关系。
2. 综合法与分析法
综合法是从已知条件出发逐步推出结论；分析法则是从结论倒推，寻找成立的条件。
3. 反证法
假设命题不成立，从而导出矛盾，进而证明原命题成立。
4. 数学归纳法
适用于涉及自然数的不等式证明，分为奠基和递推两步。
四、典型例题解析
例题1：
已知 $ a > 0 $，$ b > 0 $，证明：
$$
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2
$$
解析：
利用均值不等式，
$$
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2
$$
当且仅当 $ \frac{a}{b} = \frac{b}{a} $，即 $ a = b $ 时取等号。
例题2：
设 $ x > 0 $，证明：
$$
x + \frac{1}{x} \geq 2
$$
解析：
同样使用均值不等式，
$$
x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2
$$
当且仅当 $ x = 1 $ 时取等号。
五、巩固练习题（含答案）
练习1：
已知 $ a, b > 0 $，且 $ a + b = 1 $，求 $ ab $ 的最大值。
答案：
由均值不等式得 $ ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $，当 $ a = b = \frac{1}{2} $ 时取最大值 $ \frac{1}{4} $。
练习2：
解不等式 $ \frac{x - 1}{x + 2} \geq 0 $
答案：
解集为 $ (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) $
练习3：
设 $ x > 0 $，证明：
$$
x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2
$$
答案：
令 $ y = x + \frac{1}{x} $，则 $ y \geq 2 $，因此 $ x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 \geq 2 $
六、总结
《选修4-5——不等式选讲》是高中数学中较为抽象但极具实用性的部分。通过掌握基本不等式、不等式解法及证明技巧，可以有效提升数学思维能力和问题解决能力。建议同学们在学习过程中多做练习、勤于思考，逐步形成系统的知识框架。
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