【复数综合练习题】在数学学习中，复数是一个重要的知识点，尤其在高中阶段和大学的初步课程中占据重要地位。复数不仅拓展了数的范围，也为解决实际问题提供了更强大的工具。为了帮助学生更好地掌握复数的相关概念与运算，以下是一些具有代表性的综合练习题，旨在提升学生的思维能力和解题技巧。

一、选择题

1. 设 $ z = 3 - 4i $，则其共轭复数为（ ）

A. $ 3 + 4i $

B. $ -3 + 4i $

C. $ -3 - 4i $

D. $ 4 - 3i $

2. 若 $ z_1 = 2 + i $，$ z_2 = 1 - 2i $，则 $ z_1 \cdot z_2 = $（ ）

A. $ 4 - 3i $

B. $ 3 - 4i $

C. $ 2 - 5i $

D. $ 5 - 3i $

3. 复数 $ z = \frac{1 + i}{1 - i} $ 的实部为（ ）

A. 0

B. 1

C. $ \frac{1}{2} $

D. $ -1 $

二、填空题

4. 若 $ z = a + bi $ 是纯虚数，则实数 $ a = $ ______。

5. 已知 $ |z| = 5 $，且 $ z $ 在复平面上的对应点位于第一象限，若其实部为 3，则其虚部为 ______。

6. 计算 $ (1 + i)^2 $ 的结果是 ______。

三、解答题

7. 已知复数 $ z = 2 + 3i $，求它的模和辐角（用弧度表示）。

8. 解方程：$ z^2 + 4z + 13 = 0 $。

9. 设 $ z_1 = 1 + i $，$ z_2 = 2 - i $，计算 $ \frac{z_1}{z_2} $ 并化简为标准形式 $ a + bi $。

10. 求复数 $ z = \cos\theta + i\sin\theta $ 的平方根，并写出其极坐标形式。

四、应用题

11. 在一个电路中，阻抗 $ Z $ 可以表示为复数，其中电阻部分为实部，电抗部分为虚部。若某电路的总阻抗为 $ Z = 4 + 3i $ 欧姆，求该电路的等效阻抗模值。

12. 已知复数 $ z $ 满足 $ z^3 = 1 $，求所有满足条件的复数 $ z $，并说明它们在复平面上的位置关系。

五、思考题（拓展）

13. 探究复数 $ z = \cos\theta + i\sin\theta $ 的幂次性质，并解释其与欧拉公式的联系。

14. 如果一个复数 $ z $ 满足 $ |z - 1| = |z + 1| $，那么 $ z $ 在复平面上的轨迹是什么？请画出图形并说明理由。

通过这些练习题，可以系统地巩固复数的基本概念、代数运算、几何意义以及实际应用。建议同学们在做题时注意理解每一步的推导过程，培养严谨的数学思维习惯。同时，遇到困难时可结合图像或公式进行分析，逐步提高对复数的理解与运用能力。