【中考二次函数总复习经典例题习题】在初中数学中，二次函数是中考的重要考点之一，它不仅是代数部分的核心内容，也与几何、实际问题等有密切联系。掌握好二次函数的相关知识，有助于提升整体数学成绩。本文将围绕中考常见的二次函数问题，整理一些经典例题与习题，帮助同学们系统复习，巩固知识点。
一、二次函数的基本概念
一般形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $，$ a $、$ b $、$ c $ 为常数。
- 图象：抛物线
- 顶点坐标：$ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $
- 对称轴：直线 $ x = -\frac{b}{2a} $
- 开口方向：当 $ a > 0 $ 时，开口向上；当 $ a < 0 $ 时，开口向下
二、经典例题解析
例题1：求二次函数的顶点坐标和对称轴
已知函数 $ y = -2x^2 + 4x + 3 $，求其顶点坐标和对称轴。
解：
根据公式，顶点横坐标为：
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1 $$
代入原式得纵坐标：
$$ y = -2(1)^2 + 4(1) + 3 = -2 + 4 + 3 = 5 $$
所以顶点为 $ (1, 5) $，对称轴为 $ x = 1 $
例题2：判断图像与x轴的交点个数
判断函数 $ y = x^2 - 4x + 4 $ 的图像与x轴的交点个数。
解：
计算判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $：
$$ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0 $$
因为判别式等于0，说明该函数图像与x轴有一个交点（即相切），即有一个实根。
例题3：实际应用问题
某商场销售一种商品，每天的利润 $ y $（元）与售价 $ x $（元）之间的关系为：
$$ y = -2x^2 + 80x - 600 $$
问：当售价定为多少元时，利润最大？最大利润是多少？
解：
由于 $ a = -2 < 0 $，抛物线开口向下，故顶点处取得最大值。
顶点横坐标为：
$$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2 \times (-2)} = 20 $$
代入得最大利润：
$$ y = -2(20)^2 + 80 \times 20 - 600 = -800 + 1600 - 600 = 200 $$
因此，当售价定为20元时，利润最大，最大利润为200元。
三、典型习题训练
1. 已知函数 $ y = 3x^2 - 6x + 1 $，求其顶点坐标和对称轴。
2. 函数 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 的图像与x轴的交点有几个？
3. 某地种植某种农作物，收益 $ y $（万元）与种植面积 $ x $（亩）的关系为：
$$ y = -0.5x^2 + 5x $$
求最大收益及对应的种植面积。
4. 若函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点在原点，且过点 $ (1, 2) $，求 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
四、复习建议
1. 熟练掌握二次函数的图像性质，理解顶点、对称轴、开口方向等关键特征。
2. 善于利用配方法或公式法求顶点坐标。
3. 多做实际应用类题目，提高分析能力。
4. 注意题目的陷阱，如“是否存在交点”、“最大值最小值”等问题要结合判别式和顶点进行分析。
通过系统的复习与练习，相信同学们能够更好地掌握二次函数的相关知识，在中考中取得优异成绩。希望本文对大家的学习有所帮助！
