【不定积分100道例题及解答】在数学学习过程中，不定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握不定积分的计算方法不仅有助于理解导数的逆运算，还能提升解决实际问题的能力。为了帮助学习者更好地理解和练习这一知识点，本文整理了“不定积分100道例题及解答”，涵盖基础到进阶的各类题型，适合不同层次的学习者使用。
一、什么是不定积分？
不定积分是求一个函数的原函数的过程。若函数 $ f(x) $ 在某区间内有原函数 $ F(x) $，则称 $ F(x) + C $（其中 $ C $ 为任意常数）为 $ f(x) $ 的不定积分，记作：
$$
\int f(x) \, dx = F(x) + C
$$
二、不定积分的基本性质
1. 线性性：
$$
\int [af(x) + bg(x)] \, dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx
$$
2. 积分与导数的关系：
$$
\frac{d}{dx} \left( \int f(x)\,dx \right) = f(x)
$$
3. 积分常数：
不定积分的结果中必须包含一个任意常数 $ C $。
三、常见积分公式
| 函数 | 积分结果 |
|------|----------|
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ |
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ |
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln|x| + C $ |
| $ \frac{1}{1+x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
四、例题解析（精选部分）
例题1：
$$
\int (3x^2 + 2x + 1) \, dx
$$
解：
$$
\int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx = x^3 + x^2 + x + C
$$
例题2：
$$
\int \frac{1}{x^2} \, dx
$$
解：
$$
\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C
$$
例题3：
$$
\int \sin(2x) \, dx
$$
解：
$$
-\frac{1}{2} \cos(2x) + C
$$
例题4：
$$
\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx
$$
解：
$$
\frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
$$
例题5：
$$
\int x e^x \, dx
$$
解：
使用分部积分法：
设 $ u = x $，$ dv = e^x dx $，则 $ du = dx $，$ v = e^x $
$$
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C
$$
五、学习建议
1. 掌握基本公式：熟悉常见的积分公式是解题的基础。
2. 多做练习：通过大量练习加深对积分技巧的理解。
3. 注意细节：如积分常数、变量替换、分部积分等。
4. 结合图形理解：通过图像辅助理解积分的意义和性质。
六、结语
“不定积分100道例题及解答”是一份系统性的练习资料，适用于初学者巩固基础知识，也适用于进阶学习者提升解题能力。希望这份资料能够帮助你在数学学习的道路上走得更远、更稳。
如果你正在备考或需要进一步深入学习，建议结合教材和习题集进行综合练习，逐步提高自己的数学素养和逻辑思维能力。
