【常用的等价无穷小公式】在高等数学中，尤其是在求极限、微分和积分的过程中，等价无穷小是一个非常重要的工具。利用等价无穷小可以简化复杂的表达式，使计算更加高效。以下是一些在实际应用中经常用到的等价无穷小公式，便于快速查阅与使用。
一、常用等价无穷小公式总结
当 $ x \to 0 $ 时，以下函数之间存在等价关系：
| x → 0 时的函数 | 等价无穷小 |
| $\sin x$ | $x$ |
| $\tan x$ | $x$ |
| $\arcsin x$ | $x$ |
| $\arctan x$ | $x$ |
| $1 - \cos x$ | $\frac{1}{2}x^2$ |
| $\ln(1 + x)$ | $x$ |
| $e^x - 1$ | $x$ |
| $a^x - 1$ | $x \ln a$ |
| $\sqrt{1 + x} - 1$ | $\frac{1}{2}x$ |
| $\sqrt[n]{1 + x} - 1$ | $\frac{1}{n}x$（$n$ 为正整数） |
| $\sinh x$ | $x$ |
| $\cosh x - 1$ | $\frac{1}{2}x^2$ |
| $\tanh x$ | $x$ |
二、说明与注意事项
1. 适用范围：上述等价关系仅在 $ x \to 0 $ 时成立，若 $ x \to \infty $ 或其他值，则需重新分析。
2. 替换原则：在极限运算中，若某函数是另一函数的等价无穷小，可以直接进行替换，以简化计算。
3. 高阶无穷小：有时需要考虑更高阶的项，如 $ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) $，这在更精确的近似中会用到。
4. 组合使用：多个等价无穷小可以结合使用，例如 $ \ln(1 + \sin x) \sim \sin x \sim x $。
三、应用示例
例1：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x}
$$
由于 $ \sin 2x \sim 2x $，$ \tan 3x \sim 3x $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 3x} \sim \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}
$$
例2：求极限
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}
$$
因为 $ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $，所以
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \sim \frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2} = \frac{1}{2}
$$
通过掌握这些常见的等价无穷小关系，可以大大提升在极限问题中的解题效率，避免繁琐的泰勒展开或洛必达法则的使用。建议在学习过程中多加练习，加深理解。
以上就是【常用的等价无穷小公式】相关内容，希望对您有所帮助。
