【等比数列求和公式两种】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。对于等比数列的求和问题，常见的有两种情况：有限项求和和无限项求和。下面我们将对这两种求和方式进行总结，并通过表格形式进行对比说明。

一、有限项等比数列求和公式

当一个等比数列有固定的项数 $ n $ 时，其前 $ n $ 项的和可以用以下公式计算：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

其中：

- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；

- $ a_1 $ 是首项；

- $ r $ 是公比；

- $ n $ 是项数。

如果 $ r = 1 $，则所有项都相等，此时求和公式为：

$$

S_n = a_1 \cdot n

$$

二、无限项等比数列求和公式

当等比数列的项数趋于无穷时，若公比 $ r < 1 $，则数列会收敛，此时可以使用以下公式计算其和：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

注意：只有当 $ r < 1 $ 时，这个公式才成立；否则，数列不收敛，无法求出有限和。

三、两种公式的对比总结

四、实际应用举例

示例1：有限项求和

已知等比数列首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和。

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

示例2：无限项求和

已知等比数列首项 $ a_1 = 1 $，公比 $ r = \frac{1}{2} $，求其无限项和。

$$

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

$$

五、总结

等比数列的求和公式根据是否为无限项分为两种：有限项求和适用于任意公比（除1），而无限项求和仅适用于公比绝对值小于1的情况。理解这两种公式的应用场景和条件，有助于在实际问题中正确运用等比数列的知识。

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