【等比数列求和公式】在数学中，等比数列是一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值保持不变。这个固定的比值称为公比（通常用 $ q $ 表示）。等比数列的求和公式是解决这类数列总和问题的重要工具。
一、等比数列的基本概念
- 定义：如果一个数列从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数 $ q $，则称该数列为等比数列。
- 通项公式：第 $ n $ 项为 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 是首项，$ q $ 是公比。
- 求和公式：用于计算前 $ n $ 项的和。
二、等比数列求和公式
根据公比 $ q $ 的不同情况，求和公式分为两种：
| 公比 $ q $ | 求和公式 | 说明 |
| $ q \neq 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ 或 $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | 当公比不等于1时使用 |
| $ q = 1 $ | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 当公比为1时，所有项都相等，直接乘以项数即可 |
三、典型例题解析
例1：已知等比数列首项 $ a_1 = 3 $，公比 $ q = 2 $，求前5项的和。
- 应用公式：$ S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (32 - 1) = 3 \cdot 31 = 93 $
例2：已知等比数列首项 $ a_1 = 5 $，公比 $ q = 1 $，求前4项的和。
- 因为 $ q = 1 $，所以每项都是5，前4项和为 $ 5 \times 4 = 20 $
四、总结
等比数列求和公式是数学中重要的基础知识之一，掌握其应用有助于解决实际问题。在使用公式时，需要注意公比 $ q $ 是否为1，这将直接影响到所使用的公式形式。通过理解通项公式与求和公式的逻辑关系，可以更灵活地应对各种等比数列相关的问题。
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