【主成分分析例题及答案】主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种常用的降维技术，用于将高维数据转换为低维空间，同时尽可能保留原始数据的方差信息。以下是一个关于主成分分析的典型例题及其详细解答过程。
一、题目描述
假设有一个包含三个变量的数据集，共有5个样本，具体数据如下：
| 样本 | X1 | X2 | X3 |
| 1 | 2 | 4 | 6 |
| 2 | 3 | 5 | 7 |
| 3 | 4 | 6 | 8 |
| 4 | 5 | 7 | 9 |
| 5 | 6 | 8 | 10 |
请使用主成分分析方法，将该数据集降维到二维，并给出主成分的表达式及各主成分的贡献率。
二、解题步骤
1. 数据标准化
由于不同变量的量纲可能不同，首先对数据进行标准化处理（均值为0，标准差为1）。
计算每个变量的均值和标准差：
- X1: 均值 = 4，标准差 ≈ 1.58
- X2: 均值 = 6，标准差 ≈ 1.58
- X3: 均值 = 8，标准差 ≈ 1.58
标准化后数据如下：
| 样本 | Z1 | Z2 | Z3 |
| 1 | -1.27 | -1.27 | -1.27 |
| 2 | -0.63 | -0.63 | -0.63 |
| 3 | 0.00 | 0.00 | 0.00 |
| 4 | 0.63 | 0.63 | 0.63 |
| 5 | 1.27 | 1.27 | 1.27 |
2. 计算协方差矩阵
由于数据已经标准化，协方差矩阵即为相关系数矩阵。
计算得到相关系数矩阵如下：
| Z1 | Z2 | Z3 | |
| Z1 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| Z2 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
| Z3 | 1.00 | 1.00 | 1.00 |
可见，所有变量之间高度相关。
3. 求特征值与特征向量
根据相关系数矩阵求其特征值和对应的特征向量：
- 特征值：λ₁ = 3.00，λ₂ = 0.00，λ₃ = 0.00
- 对应的单位特征向量分别为：
- 第一主成分方向：(1/√3, 1/√3, 1/√3)
- 第二主成分方向：(-1/√2, 1/√2, 0)
- 第三主成分方向：(1/√6, 1/√6, -2/√6)
4. 构造主成分
第一主成分（PC1）的表达式为：
$$
PC1 = \frac{1}{\sqrt{3}}Z_1 + \frac{1}{\sqrt{3}}Z_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}Z_3
$$
第二主成分（PC2）的表达式为：
$$
PC2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}Z_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}Z_2 + 0 \cdot Z_3
$$
第三主成分（PC3）的表达式为：
$$
PC3 = \frac{1}{\sqrt{6}}Z_1 + \frac{1}{\sqrt{6}}Z_2 - \frac{2}{\sqrt{6}}Z_3
$$
5. 计算贡献率
- 第一主成分贡献率：$ \frac{3.00}{3.00} = 100\% $
- 第二主成分贡献率：$ \frac{0.00}{3.00} = 0\% $
- 第三主成分贡献率：$ \frac{0.00}{3.00} = 0\% $
因此，第一主成分包含了全部的信息，其余两个主成分不提供额外信息。
三、结果总结
| 主成分 | 表达式 | 贡献率 |
| PC1 | $ \frac{1}{\sqrt{3}}Z_1 + \frac{1}{\sqrt{3}}Z_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}Z_3 $ | 100% |
| PC2 | $ -\frac{1}{\sqrt{2}}Z_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}Z_2 $ | 0% |
| PC3 | $ \frac{1}{\sqrt{6}}Z_1 + \frac{1}{\sqrt{6}}Z_2 - \frac{2}{\sqrt{6}}Z_3 $ | 0% |
四、结论
通过主成分分析，我们发现该数据集中三个变量之间存在完全相关关系，因此只需一个主成分即可完整表示数据的变化趋势。PCA在此案例中有效地实现了数据的降维，并揭示了变量之间的强相关性。
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