在高等数学的学习过程中，掌握基础知识和解题技巧是非常重要的。以下是一些针对高等数学（二）的典型题目及其详细解答过程，旨在帮助学生更好地理解和运用所学知识。

例题一：函数极限

题目：求函数 \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) 当 \( x \to 2 \) 时的极限。

解析：首先观察分子分母，发现当 \( x = 2 \) 时，分母为零，分子也为零，因此可以尝试使用洛必达法则或者因式分解来解决。

通过因式分解，分子可写为 \( (x - 2)(x + 2) \)，所以原式变为：

\[ f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \]

当 \( x \neq 2 \) 时，可以约去 \( x - 2 \)，得到：

\[ f(x) = x + 2 \]

因此，当 \( x \to 2 \) 时，\( f(x) \to 2 + 2 = 4 \)

最终答案：极限值为 4。

例题二：定积分计算

题目：计算定积分 \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx \)

解析：这里可以采用换元法。令 \( u = x^2 \)，则 \( du = 2x dx \)，并且当 \( x = 0 \) 时 \( u = 0 \)，当 \( x = 1 \) 时 \( u = 1 \)。

原积分变为：

\[ \int_{0}^{1} x e^{x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u du \]

计算得到：

\[ \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e - 1) \]

最终答案：定积分为 \( \frac{1}{2}(e - 1) \)。

以上两道题目涵盖了高等数学中常见的两类问题——函数极限与定积分计算。通过这些例子，我们可以看到，无论是极限还是积分，都需要熟练掌握基本概念并灵活运用各种方法进行求解。希望同学们能够通过不断练习提高自己的解题能力，在考试中取得理想的成绩！