在数学领域中，定积分是微积分的重要组成部分之一，广泛应用于物理、工程学以及经济学等多个学科之中。为了帮助大家更好地理解和运用定积分的相关知识，本文将整理一份详尽的“定积分公式表”，涵盖常见函数及其对应的积分结果。
基本积分公式
1. 常数函数
\[
\int k \, dx = kx + C
\]
其中 \(k\) 为常数。
2. 幂函数
\[
\int x^n \, dx =
\begin{cases}
\frac{x^{n+1}}{n+1} + C & (n \neq -1) \\
\ln|x| + C & (n = -1)
\end{cases}
\]
3. 指数函数
\[
\int e^x \, dx = e^x + C
\]
\[
\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)
\]
4. 三角函数
\[
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
\]
\[
\int \cos x \, dx = \sin x + C
\]
\[
\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C
\]
5. 反三角函数
\[
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \arcsin x + C
\]
\[
\int \frac{-1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C
\]
特殊积分公式
6. 对数函数
\[
\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C
\]
7. 双曲函数
\[
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\]
\[
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\]
8. 分部积分法
若两个函数 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 可导，则有：
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
9. 换元积分法
设 \(t = g(x)\)，则：
\[
\int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(t) \, dt
\]
应用实例
通过上述公式，我们可以解决许多实际问题。例如，计算曲线下的面积、求解质心位置或计算旋转体体积等。这些应用不仅加深了我们对定积分的理解，也展示了其强大的实用价值。
希望这份“定积分公式表大全”能够成为你学习和研究中的得力助手！如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时与我联系。
