【分式方程练习题及答案】在数学学习中，分式方程是一个重要的知识点，尤其在初中和高中阶段的代数内容中占据重要地位。掌握分式方程的解法不仅有助于提高计算能力，还能为后续学习函数、不等式等内容打下坚实的基础。
以下是一些关于分式方程的典型练习题及其详细解答，帮助学生巩固知识、提升解题技巧。
一、基础练习题
1. 解方程：
$$
\frac{2}{x} = \frac{4}{x+3}
$$
解题步骤：
首先，两边交叉相乘：
$$
2(x + 3) = 4x
\Rightarrow 2x + 6 = 4x
\Rightarrow 6 = 2x
\Rightarrow x = 3
$$
检验：
将 $x = 3$ 代入原方程，左边为 $\frac{2}{3}$，右边为 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$，左右相等，成立。
答案： $x = 3$
2. 解方程：
$$
\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{3}{4}
$$
解题步骤：
交叉相乘：
$$
4(x - 1) = 3(x + 2)
\Rightarrow 4x - 4 = 3x + 6
\Rightarrow x = 10
$$
检验：
将 $x = 10$ 代入原方程，左边为 $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$，右边为 $\frac{3}{4}$，成立。
答案： $x = 10$
3. 解方程：
$$
\frac{5}{x - 2} + \frac{1}{x + 1} = 2
$$
解题步骤：
找到公共分母 $(x - 2)(x + 1)$，两边同乘以该分母：
$$
5(x + 1) + 1(x - 2) = 2(x - 2)(x + 1)
$$
展开并整理：
$$
5x + 5 + x - 2 = 2(x^2 - x - 2)
\Rightarrow 6x + 3 = 2x^2 - 2x - 4
\Rightarrow 2x^2 - 8x - 7 = 0
$$
使用求根公式：
$$
x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2}
= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 56}}{4}
= \frac{8 \pm \sqrt{120}}{4}
= \frac{8 \pm 2\sqrt{30}}{4}
= \frac{4 \pm \sqrt{30}}{2}
$$
检验：
由于分母不能为零，需检查 $x \neq 2$ 和 $x \neq -1$，上述两个解均满足条件。
答案： $x = \frac{4 + \sqrt{30}}{2}$ 或 $x = \frac{4 - \sqrt{30}}{2}$
二、综合应用题
4. 某工程队修路，甲队单独完成需要10天，乙队单独完成需要15天。两队合作几天可以完成？
解题思路：
设合作需要 $x$ 天完成，根据工作效率关系：
$$
\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{x}
$$
通分后：
$$
\frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{x}
\Rightarrow \frac{5}{30} = \frac{1}{x}
\Rightarrow \frac{1}{6} = \frac{1}{x}
\Rightarrow x = 6
$$
答案： 两队合作6天可以完成。
三、拓展思考题
5. 若方程 $\frac{a}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}$ 有增根，求 $a$ 的值。
解题思路：
增根出现在使分母为零的情况下，即 $x = 1$ 或 $x = -1$。
将 $x = 1$ 代入原方程：
$$
\frac{a}{0} = \frac{2}{2} \Rightarrow \text{无意义}，说明 $x = 1$ 是增根。
将 $x = -1$ 代入原方程：
$$
\frac{a}{-2} = \frac{2}{0} \Rightarrow \text{同样无意义}，所以 $x = -1$ 也是增根。
但题目只问“有增根”，因此只要使某一个分母为零即可。
由原方程可得：
$$
a(x + 1) = 2(x - 1)
\Rightarrow a = \frac{2(x - 1)}{x + 1}
$$
当 $x = -1$ 时，分母为零，此时 $a$ 可取任意值，但若要使方程在 $x = -1$ 时产生增根，则必须让 $x = -1$ 成为解的一部分，即：
令 $x = -1$ 代入上式：
$$
a = \frac{2(-1 - 1)}{-1 + 1} = \frac{-4}{0} \Rightarrow \text{无定义}
$$
因此，只有当 $a = -2$ 时，方程在 $x = -1$ 处出现增根。
答案： $a = -2$
总结
通过以上练习题，我们可以看到分式方程的解法主要包括：
- 交叉相乘
- 找到公共分母
- 检查增根
- 实际问题建模
建议多做类似题目，增强对分式方程的理解与运用能力。
