【因式分解练习题[含答案]】因式分解是初中数学中的一个重要知识点，也是学习代数运算的基础。通过因式分解，可以将复杂的多项式简化为几个因式的乘积形式，从而便于进一步的计算和分析。以下是一些典型的因式分解练习题，并附有详细的解答过程，帮助大家更好地掌握这一技能。
一、基础练习题
1. 分解因式：
$ x^2 + 5x + 6 $
解：
寻找两个数，它们的和为5，积为6。这两个数是2和3。
所以，
$ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) $
2. 分解因式：
$ x^2 - 7x + 12 $
解：
寻找两个数，它们的和为-7，积为12。这两个数是-3和-4。
所以，
$ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) $
3. 分解因式：
$ x^2 - 9 $
解：
这是一个平方差公式：$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $
所以，
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $
4. 分解因式：
$ 4x^2 - 16 $
解：
首先提取公因式：
$ 4(x^2 - 4) $
再应用平方差公式：
$ 4(x - 2)(x + 2) $
5. 分解因式：
$ 3x^2 + 6x + 3 $
解：
提取公因式3：
$ 3(x^2 + 2x + 1) $
再观察括号内为完全平方公式：
$ 3(x + 1)^2 $
二、进阶练习题
1. 分解因式：
$ x^3 - 8 $
解：
这是一个立方差公式：$ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
所以，
$ x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $
2. 分解因式：
$ x^3 + 125 $
解：
这是一个立方和公式：$ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
所以，
$ x^3 + 125 = (x + 5)(x^2 - 5x + 25) $
3. 分解因式：
$ 2x^2 + 10x + 12 $
解：
先提取公因式2：
$ 2(x^2 + 5x + 6) $
然后分解括号内的二次三项式：
$ 2(x + 2)(x + 3) $
4. 分解因式：
$ 6x^2 - 15x - 9 $
解：
提取公因式3：
$ 3(2x^2 - 5x - 3) $
分解括号内的二次三项式：
寻找两个数，乘积为-6，和为-5。这两个数是-6和+1。
所以，
$ 3(2x + 1)(x - 3) $
5. 分解因式：
$ x^4 - 16 $
解：
应用平方差公式两次：
$ x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) $
再分解 $ x^2 - 4 $：
$ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) $
三、综合练习题（挑战题）
1. 分解因式：
$ x^4 + 4x^2 + 4 $
解：
观察到这是一个完全平方公式：
$ (x^2 + 2)^2 $
2. 分解因式：
$ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 $
解：
尝试用试根法，令 $ x = 1 $，代入得：
$ 1 - 2 - 5 + 6 = 0 $，所以 $ x - 1 $ 是一个因式。
用多项式除法或配方法分解：
$ (x - 1)(x^2 - x - 6) = (x - 1)(x - 3)(x + 2) $
3. 分解因式：
$ x^3 + 3x^2 - 4x - 12 $
解：
尝试用试根法，令 $ x = 2 $，代入得：
$ 8 + 12 - 8 - 12 = 0 $，所以 $ x - 2 $ 是一个因式。
分解得：
$ (x - 2)(x^2 + 5x + 6) = (x - 2)(x + 2)(x + 3) $
四、答案汇总
| 题号 | 因式分解结果 |
|------|----------------|
| 1| $ (x + 2)(x + 3) $ |
| 2| $ (x - 3)(x - 4) $ |
| 3| $ (x - 3)(x + 3) $ |
| 4| $ 4(x - 2)(x + 2) $ |
| 5| $ 3(x + 1)^2 $ |
| 6| $ (x - 2)(x^2 + 2x + 4) $ |
| 7| $ (x + 5)(x^2 - 5x + 25) $ |
| 8| $ 2(x + 2)(x + 3) $ |
| 9| $ 3(2x + 1)(x - 3) $ |
| 10 | $ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) $ |
| 11 | $ (x^2 + 2)^2 $ |
| 12 | $ (x - 1)(x - 3)(x + 2) $ |
| 13 | $ (x - 2)(x + 2)(x + 3) $ |
通过以上练习题的反复训练，能够有效提升对因式分解的理解与应用能力。建议在做题过程中注意观察多项式的结构，灵活运用公式和技巧，逐步提高解题速度与准确率。
