【角平分线性质习题】在几何学习中，角平分线是一个重要的概念，它不仅在基础几何中频繁出现，而且在许多实际问题和综合题中也常常被用到。掌握角平分线的性质，有助于我们更高效地解决与角度、距离相关的题目。
一、角平分线的基本性质
角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等部分的射线。角平分线具有以下重要性质：
1. 角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
这是角平分线的核心性质之一。如果点P在∠ABC的平分线上，那么点P到边BA和BC的距离是相等的。
2. 角平分线定理
在三角形中，角平分线将对边分成与两边成比例的两段。即，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则有：
$$
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
$$
3. 逆定理
如果一条线段将一个角分成两个相等的部分，并且这条线段是从顶点出发的，那么这条线段就是该角的平分线。
二、典型例题解析
例题1：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，已知AB=6，AC=9，BC=15，求BD和DC的长度。
解题思路：
根据角平分线定理，有：
$$
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
$$
设BD = 2x，DC = 3x，则BD + DC = BC = 15
即：2x + 3x = 15 ⇒ 5x = 15 ⇒ x = 3
因此，BD = 6，DC = 9。
例题2：
已知点P在∠AOB的平分线上，且PA = 4cm，PB = 5cm，判断是否合理。
分析：
根据角平分线性质，点P在角平分线上时，到两边的距离应相等。但题目中给出的是PA和PB的长度，而非距离。若PA和PB表示的是点P到OA和OB的垂直距离，则应满足PA = PB。若题目中的PA和PB为线段长度，则不一定是距离，不能直接比较。
三、常见误区与注意事项
- 混淆“距离”与“线段长度”：角平分线性质强调的是“距离”，即点到直线的垂直距离，而不是点到点的直线距离。
- 忽略图形条件：有些题目可能需要结合其他几何知识（如全等、相似、勾股定理）来综合解答。
- 误用定理：角平分线定理适用于三角形中的角平分线，若题目中没有明确说明是三角形内的角平分线，则需谨慎使用。
四、总结
角平分线性质是几何学习中的重点内容，掌握其基本定义和应用方法，能够帮助我们在解题过程中更加灵活地运用相关知识。通过多做练习题，理解不同题型的解题思路，可以进一步提升自己的几何思维能力和解题技巧。
练习题推荐：
1. 已知△ABC中，AD是角平分线，AB=8，AC=12，BC=10，求BD和DC的长度。
2. 点P在∠AOB的平分线上，且PA=5cm，PB=？（提示：考虑垂直距离）
通过不断练习与思考，相信你能够更好地掌握角平分线的相关知识，提高几何解题能力。
