【反比例函数全章难题填空题30道带详细解析】反比例函数是初中数学中的一个重要知识点，也是中考和各类考试中常考的内容。它不仅考查学生对基本概念的理解，还涉及图像、性质、应用等多个方面。为了帮助同学们更好地掌握反比例函数的相关知识，本文整理了30道难度较高的填空题，并附有详细的解析，适合用于复习巩固与提升。
一、基础概念类题目
1. 若函数 $ y = \frac{k}{x} $ 是反比例函数，则 $ k $ 的取值范围是 ________。
答案： $ k \neq 0 $
解析： 反比例函数的一般形式为 $ y = \frac{k}{x} $，其中 $ k \neq 0 $，否则函数变为 $ y = 0 $，即常函数，不是反比例函数。
2. 反比例函数的图像是 ________。
答案： 双曲线
解析： 反比例函数的图像是双曲线，位于第一、第三象限或第二、第四象限，具体取决于 $ k $ 的正负。
3. 当 $ k > 0 $ 时，反比例函数图像在第 ________ 象限。
答案： 一、三
解析： 当 $ k > 0 $ 时，$ x $ 和 $ y $ 同号，因此图像位于第一、第三象限。
4. 若点 $ (2, -3) $ 在反比例函数图像上，则该函数的表达式为 ________。
答案： $ y = -\frac{6}{x} $
解析： 将点代入 $ y = \frac{k}{x} $，得 $ -3 = \frac{k}{2} $，解得 $ k = -6 $，所以函数为 $ y = -\frac{6}{x} $。
5. 函数 $ y = \frac{m-1}{x} $ 是反比例函数，则 $ m $ 的取值范围是 ________。
答案： $ m \neq 1 $
解析： 要使函数为反比例函数，必须满足 $ m - 1 \neq 0 $，即 $ m \neq 1 $。
二、函数性质类题目
6. 反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 中，当 $ x $ 增大时，$ y $ 的变化趋势是 ________。
答案： 逐渐减小（当 $ a > 0 $）或逐渐增大（当 $ a < 0 $）
解析： 反比例函数在每个象限内，随着 $ x $ 的增大，$ y $ 的绝对值会减小，但符号取决于 $ a $ 的正负。
7. 若反比例函数图像经过点 $ (-1, 2) $，则其解析式为 ________。
答案： $ y = -\frac{2}{x} $
解析： 代入点 $ (-1, 2) $ 得 $ 2 = \frac{k}{-1} $，解得 $ k = -2 $，所以函数为 $ y = -\frac{2}{x} $。
8. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图像经过点 $ (3, -2) $，则 $ k = $ ________。
答案： $ -6 $
解析： 代入点得 $ -2 = \frac{k}{3} $，解得 $ k = -6 $。
9. 若反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图像在第二、四象限，则 $ m $ 的符号为 ________。
答案： 负
解析： 第二、四象限的点横纵坐标异号，说明 $ m < 0 $。
10. 已知反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $，当 $ x = -1 $ 时，$ y = $ ________。
答案： $ -3 $
解析： 代入 $ x = -1 $ 得 $ y = \frac{3}{-1} = -3 $。
三、函数图像与性质结合类题目
11. 函数 $ y = \frac{-4}{x} $ 的图像位于 ________ 象限。
答案： 二、四
解析： 因为 $ k = -4 < 0 $，所以图像位于第二、四象限。
12. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图像经过点 $ (1, 3) $，则 $ k = $ ________。
答案： $ 3 $
解析： 代入点得 $ 3 = \frac{k}{1} $，解得 $ k = 3 $。
13. 已知反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 的图像经过点 $ (2, -1) $，则 $ a = $ ________。
答案： $ -2 $
解析： 代入点得 $ -1 = \frac{a}{2} $，解得 $ a = -2 $。
14. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图像经过点 $ (4, -3) $，则 $ k = $ ________。
答案： $ -12 $
解析： 代入点得 $ -3 = \frac{k}{4} $，解得 $ k = -12 $。
15. 若点 $ (a, b) $ 在反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 上，则 $ ab = $ ________。
答案： $ 6 $
解析： 由 $ b = \frac{6}{a} $，两边乘以 $ a $ 得 $ ab = 6 $。
四、综合应用类题目
16. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图像经过点 $ (2, 5) $，则该函数的解析式为 ________。
答案： $ y = \frac{10}{x} $
解析： 代入点得 $ 5 = \frac{k}{2} $，解得 $ k = 10 $。
17. 已知反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图像经过点 $ (-3, 4) $，则 $ m = $ ________。
答案： $ -12 $
解析： 代入点得 $ 4 = \frac{m}{-3} $，解得 $ m = -12 $。
18. 若点 $ (x, y) $ 在反比例函数 $ y = \frac{12}{x} $ 上，则 $ xy = $ ________。
答案： $ 12 $
解析： 由 $ y = \frac{12}{x} $，两边乘以 $ x $ 得 $ xy = 12 $。
19. 若点 $ (2, a) $ 在反比例函数 $ y = \frac{8}{x} $ 上，则 $ a = $ ________。
答案： $ 4 $
解析： 代入点得 $ a = \frac{8}{2} = 4 $。
20. 若点 $ (3, b) $ 在反比例函数 $ y = \frac{-9}{x} $ 上，则 $ b = $ ________。
答案： $ -3 $
解析： 代入点得 $ b = \frac{-9}{3} = -3 $。
五、拓展提升类题目
21. 若反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图像过点 $ (1, -k) $，则 $ k = $ ________。
答案： $ 0 $
解析： 代入点得 $ -k = \frac{k}{1} $，即 $ -k = k $，解得 $ k = 0 $。但此时函数退化为 $ y = 0 $，不符合反比例函数定义，故此题无解。
注意： 此题为陷阱题，需特别留意条件是否符合函数定义。
22. 若反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 的图像经过点 $ (2, 3) $，且 $ a > 0 $，则该函数在第 ________ 象限。
答案： 一、三
解析： 因为 $ a > 0 $，所以图像位于第一、第三象限。
23. 若反比例函数 $ y = \frac{m}{x} $ 的图像经过点 $ (-1, 5) $，则 $ m = $ ________。
答案： $ -5 $
解析： 代入点得 $ 5 = \frac{m}{-1} $，解得 $ m = -5 $。
24. 若反比例函数 $ y = \frac{3}{x} $ 的图像经过点 $ (x, 1) $，则 $ x = $ ________。
答案： $ 3 $
解析： 代入点得 $ 1 = \frac{3}{x} $，解得 $ x = 3 $。
25. 若反比例函数 $ y = \frac{a}{x} $ 的图像经过点 $ (a, 1) $，则 $ a = $ ________。
答案： $ \pm \sqrt{a} $（无解）
解析： 代入点得 $ 1 = \frac{a}{a} = 1 $，恒成立，但无法求出具体数值，说明题目条件不充分。
六、综合应用与实际问题
26. 某种商品的销售量与单价成反比例关系，当单价为 10 元时，销量为 50 单位，那么当单价为 25 元时，销量为 ________ 单位。
答案： $ 20 $
解析： 设销量为 $ y $，单价为 $ x $，则 $ y = \frac{k}{x} $。代入 $ x = 10 $，$ y = 50 $ 得 $ k = 500 $。当 $ x = 25 $ 时，$ y = \frac{500}{25} = 20 $。
27. 某个水池的进水量与排水时间成反比例关系，若进水量为 60 立方米/小时，排水时间为 2 小时，则进水量为 30 立方米/小时时，排水时间为 ________ 小时。
答案： $ 4 $
解析： 设进水量为 $ y $，排水时间为 $ x $，则 $ y = \frac{k}{x} $。代入 $ y = 60 $，$ x = 2 $ 得 $ k = 120 $。当 $ y = 30 $ 时，$ x = \frac{120}{30} = 4 $。
28. 某个电器的功率与电压成反比例关系，当电压为 220V 时，功率为 100W，那么当电压为 110V 时，功率为 ________ W。
答案： $ 200 $
解析： 设功率为 $ P $，电压为 $ V $，则 $ P = \frac{k}{V} $。代入 $ V = 220 $，$ P = 100 $ 得 $ k = 22000 $。当 $ V = 110 $ 时，$ P = \frac{22000}{110} = 200 $。
29. 某种电路中电流与电阻成反比例关系，当电阻为 5Ω 时，电流为 2A，那么当电阻为 10Ω 时，电流为 ________ A。
答案： $ 1 $
解析： 设电流为 $ I $，电阻为 $ R $，则 $ I = \frac{k}{R} $。代入 $ R = 5 $，$ I = 2 $ 得 $ k = 10 $。当 $ R = 10 $ 时，$ I = \frac{10}{10} = 1 $。
30. 某个实验中，温度与时间成反比例关系，当时间为 4 秒时，温度为 20°C，那么当时间为 10 秒时，温度为 ________ °C。
答案： $ 8 $
解析： 设温度为 $ T $，时间为 $ t $，则 $ T = \frac{k}{t} $。代入 $ t = 4 $，$ T = 20 $ 得 $ k = 80 $。当 $ t = 10 $ 时，$ T = \frac{80}{10} = 8 $。
总结：
反比例函数虽然看似简单，但在实际应用中涉及多个知识点，包括函数定义、图像性质、参数求解以及实际问题建模等。通过本系列题目，可以帮助学生全面理解反比例函数的本质，提高逻辑思维和解题能力。建议在学习过程中多做练习，强化对基础知识的掌握。
