【对勾函数最值公式】在数学中，对勾函数是一种常见的函数形式，其图像呈“对勾”形状，具有明显的对称性。这类函数在实际应用中常用于优化问题，尤其是在求极值时，掌握其最值公式是关键。
一、对勾函数的定义
对勾函数的一般形式为：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x}
$$
其中 $ a > 0 $，$ b > 0 $，且 $ x \neq 0 $。
该函数在 $ x > 0 $ 和 $ x < 0 $ 两个区间内分别呈现不同的单调性，其图像呈现出类似“对勾”的形状。
二、对勾函数的最值分析
对于函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $，其最小值（或最大值）出现在特定点上。根据导数法或不等式法，可以推导出其最值公式如下：
最小值公式：
当 $ x > 0 $ 时，函数取得最小值，最小值为：
$$
f_{\text{min}} = 2\sqrt{ab}
$$
对应的极值点为：
$$
x = \sqrt{\frac{b}{a}}
$$
最大值公式：
当 $ x < 0 $ 时，函数取得最大值，最大值为：
$$
f_{\text{max}} = -2\sqrt{ab}
$$
对应的极值点为：
$$
x = -\sqrt{\frac{b}{a}}
$$
三、总结表格
| 函数形式 | 定义域 | 极值类型 | 极值点 | 极值大小 |
| $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | $ x > 0 $ | 最小值 | $ \sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ 2\sqrt{ab} $ |
| $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | $ x < 0 $ | 最大值 | $ -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | $ -2\sqrt{ab} $ |
四、应用举例
例如，若 $ a = 1 $，$ b = 4 $，则：
- 当 $ x > 0 $ 时，最小值为 $ 2\sqrt{1 \times 4} = 4 $，对应 $ x = 2 $
- 当 $ x < 0 $ 时，最大值为 $ -4 $，对应 $ x = -2 $
五、结论
对勾函数是最具代表性的非线性函数之一，其最值公式简单而实用，广泛应用于物理、经济和工程等领域。通过掌握其最值公式，可以快速求解相关问题，提升解题效率。
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