【求解二次函数解析式(练习题)】在初中或高中数学的学习过程中，二次函数是一个非常重要的知识点。它不仅在代数中占据重要地位，还在几何、物理等其他学科中有着广泛的应用。掌握如何求解二次函数的解析式，是理解其图像性质和应用问题的关键。
一、什么是二次函数？
一般形式为：
y = ax² + bx + c
其中，a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
这个表达式中的最高次数是2，因此被称为“二次函数”。
二、二次函数解析式的常见类型
1. 一般式：y = ax² + bx + c
- 适用于已知三个点或顶点与一个点的情况。
2. 顶点式：y = a(x - h)² + k
- 其中 (h, k) 是抛物线的顶点，适合已知顶点和另一个点的情况。
3. 交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)
- 其中 x₁ 和 x₂ 是抛物线与 x 轴的交点，适合已知两个零点的情况。
三、练习题解析
题目1：
已知某二次函数的图象经过点 (1, 2)，(2, 5)，(3, 10)，求该函数的解析式。
解题思路：
因为已知三个点，可以使用一般式 y = ax² + bx + c 来设方程。
将三点代入得：
- 当 x=1 时，y=2 → a(1)² + b(1) + c = 2 → a + b + c = 2
- 当 x=2 时，y=5 → 4a + 2b + c = 5
- 当 x=3 时，y=10 → 9a + 3b + c = 10
列出方程组：
1. a + b + c = 2
2. 4a + 2b + c = 5
3. 9a + 3b + c = 10
通过消元法解方程组，最终可得：
a = 1，b = 0，c = 1
所以解析式为：y = x² + 1
题目2：
已知某二次函数的顶点为 (2, -3)，且过点 (0, 1)，求该函数的解析式。
解题思路：
由于已知顶点，使用顶点式 y = a(x - h)² + k 更加方便。
代入顶点 (2, -3) 得：
y = a(x - 2)² - 3
再代入点 (0, 1)：
1 = a(0 - 2)² - 3 → 1 = 4a - 3 → 4a = 4 → a = 1
所以解析式为：y = (x - 2)² - 3 或展开为 y = x² - 4x + 1
题目3：
已知某二次函数的图象与 x 轴交于 (1, 0) 和 (3, 0)，且经过点 (2, -1)，求该函数的解析式。
解题思路：
已知两个交点，使用交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂)。
代入 x₁ = 1，x₂ = 3，得到：
y = a(x - 1)(x - 3)
再代入点 (2, -1)：
-1 = a(2 - 1)(2 - 3) → -1 = a(1)(-1) → -1 = -a → a = 1
所以解析式为：y = (x - 1)(x - 3) 或展开为 y = x² - 4x + 3
四、总结
求解二次函数的解析式，关键在于根据题目给出的信息选择合适的表达式形式，并灵活运用代入法、消元法等方法进行计算。通过大量练习，可以提高对二次函数的理解和应用能力。
建议同学们多做类似题目，逐步掌握不同情况下的解题技巧，提升数学思维能力和解题速度。
